Mathematik: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Quadratische Gleichungen

Definition

Quadratische Gleichungen sind Polynome 2. Grades, d. h. sie beinhalten ein x² (und keine höhere Potenz von x) im Polynom. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet: ax² + bx + c = 0 mit a, b, c ∈ R. Es können zwei, eine doppelte oder keine reelle Lösung geben.

Einfache quadratische Gleichungen

x² + c = 0

Eine solche einfachste Form löst man durch Isolieren von x² und anschließendes Wurzelziehen, siehe hier, also:

 x² + c = 0 | -c
     x² = -c | √
      x = ±√-c

Lösungen dieser Gleichung können so aussehen:

• Ist c < 0, so ist es möglich, die Wurzel aus -c zu ziehen, also gibt es zwei Lösungen, nämlich x₁ = √-c und x₂ = -√-c.
• Ist c = 0, so ist die Wurzel aus -c gleich 0 und es entsteht die doppelte Lösung x = 0.
• Ist c > 0, so ist es im Reellen nicht möglich, die Wurzel aus -c zu ziehen, also gibt es keine reelle Lösung (aber zwei komplexe, muss man nicht kennen).

(x - d)² = -e

Diese Gleichung lässt sich durch Wurzelziehen (wodurch vor der Wurzel ein Plus-Minus-Zeichen kommt) und Addieren von d lösen. Es entscheidet wieder der Parameter e über die Lösungsart.

(x - a)(x - b) = 0 (Satz vom Nullprodukt)

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt von beliebig vielen Faktoren nur 0 sein kann, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Für diese quadratische Gleichung muss man also zwei Fälle unterscheiden:

1. Fall: x - a = 0 | +a
             x = a

2. Fall: x - b = 0 | +b
             x = b

Somit sind die beiden Lösungen dieser Gleichung x₁ = a und x₂ = b.
Übrigens: Der Satz vom Nullprodukt ist anwendbar für alle Funktionen der Form (x - a₁)(x - a₂)(x - a₃) ⋅ ... ⋅ (x - a_n) = 0

Allgemeine Lösungsformeln für quadratische Funktionen

pq-Formel

Für dieśe Lösungsformel benutze ich die allgemeine quadratische Gleichung x² + px + q = 0 Diese lautet: x1;2 = -p/2 ± sqrt((p/2)² - q). Sie wird folgendermaßen hergeleitet:

       x² + px + q = 0  |-q
           x² + px = -q  |+(p/2)²               (1)
  x² + px + (p/2)² = (p/2)² - q  |T
        (x + p/2)² = (p/2)² - q  |√
           x + p/2 = ± sqrt((p/2)² - q)  |-p/2
                 x = -p/2 ± sqrt((p/2)² - q)

Das Verfahren des Erzeugen von einer ausmultiplizierten binomischen Formel (in (1)) nennt man quadratische Ergänzung. Diese allgemeine Formel kann man sich gut durch diesen Link merken.

abc-Formel

Für diese unbeliebtere Lösungsformel benutze ich eine noch allgemeinere Form ax² + bx + c. Diese Formel kann man gleich herleiten wie die pq-Formel, nämlich durch Division durch a.

Diskriminante

Die Diskriminante ist der Term, der über die Anzahl der (reellen) Lösungen entscheidet. Bei der pq- und abc-Formel ist die Diskriminante der Radikand, also der Term unter der Wurzel. Sie wird häufig D geschrieben. Es gilt:

• Ist D > 0, kann man aus D die Wurzel ziehen und es existieren 2 Lösungen.
• Ist D = 0, ist die Wurzel aus D gleich 0 und somit existiert nur eine doppelte Lösung.
• Ist D < 0, kann man (im reellen) nicht aus D die Wurzel ziehen und die Gleichung hat keine Lösung.

Quadratische Funktionen

Definition

Quadratische Funktionen sind Funktionen, die x² enthalten. Die Graphen dieser Funktionen heißen Parabeln. Parabeln sind Kurven mit einer Öffnung nach oben/unten. Sie hat einen Tiefpunkt/Hochpunkt, der Scheitelpunkt genannt wird.

Normalparabel

Die Normalparabel ist der Graph der Funktion y = x². Sie hat ihren Scheitelpunkt im Ursprung (also (0|0)). Sie ist nach oben geöffnet und wird von x = 0 bis x = ∞ steiler (da die Ableitungsfunktion von y = x² gleich y = 2x ist, muss man nicht wissen!) und von x = -∞ bis x = 0 immer flacher. Sie hat eine doppelte Nullstelle im Ursprung.

Strecken, Stauchen und Spiegeln der Normalparabel

Man verändert durch das Multiplizieren von x² mit a die Steigung der Parabel:

• Mit |a| > 1 wird die Parabel gestreckt, das heißt sie ist steiler als die Normalparabel.
• Mit 0 < |a| < 1 wird die Parabel gestaucht, das heißt sie ist flacher als die Normalparabel.
• Wenn a positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Wenn a negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet, also an der x-Achse gespiegelt.

Dabei ist a der Streckfaktor der Parabel.

Verschieben der Normalparabel und Scheitelpunktform

Man verschiebt die Normalparabel in y-Richtung, indem man zu x² einen Parameter e addiert. In dieser Parabel ist der Scheitelpunkt bei (0|e). Die Normalparabel wird in x-Richtung verschoben, indem man x² zu (x - d)² ändert. Hierbei befindet sich der Scheitelpunkt bei (d|0).
Daraus folgt die Scheitelpunktform, die folgendermaßen lautet: y = a(x - d)² + e. a stellt den Streckfaktor dar und der Scheitelpunkt liegt bei (d|e), deshalb heißt sie auch Scheitelpunktform, weil man aus ihr den Scheitelpunkt direkt ablesen kann.

Normalform/Allgemeine Form

Die Normalform lautet y = ax² + bx + c. Sie ist eine andere Schreibweise zum Darstellen von quadratischen Funktionen. Aus ihr kann man den Streckfaktor a und den y-Achsenabschnitt c ablesen.